Halaman
99Pola Bilangan, Barisan, dan DeretPola bilangan, barisan, dan deret merupakan materi baru yang akan kamu pelajari pada bab ini. Terdapat beberapa masalah yang penyelesaiannya memerlukan materi ini, contohnya sebagai berikut.Jumlah bakteri dalam suatu kondisi tertentu bertambah dari 10.000 menjadi 25.000 dalam 4 hari. Jika jumlah bakteri tersebut terus bertambah menurut deret geometri, berapa banyak pertumbuhan bakteri tersebut per hari?Untuk menjawabnya, pelajari bab ini dengan baik.A.Pola BilanganB.Barisan BilanganC.Deret Bilangan 6BabPola Bilangan,Barisan,6BaSumber:www.medecinepharmacie.univ-fcomte.fr
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX100Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut.A. Pola BilanganPernahkah kamu memperhatikan dadu? Pada umumnya, dadu memilikibilangan-bilangan yang digambarkan dalam bentuk bulatan. Coba kamuperhatikan Gambar 6.1 . Gambar tersebut menunjukkan bahwa dadu memilikibulatan-bulatan kecil (disebut noktah atau titik) di setiap sisinya. Noktah-noktah tersebut mewakili bilangan-bilangan yang ditentukan. Satu noktahmewakili bilangan 1, dua noktah mewakili bilangan 2, dan begitu seterusnyahingga enam noktah yang mewakili bilangan 6. Penggunaan noktah untukmewakili suatu bilangan tertentu sebenarnya telah digunakan manusia padazaman dahulu. Uniknya, penulisan noktah-noktah tersebut ternyata mengikutipola yang didasarkan pada bentuk bangun datar atau bangun ruang.1. Pola Garis LurusPenulisan bilangan yang mengikuti pola garis lurus merupakan pola bilanganyang paling sederhana. Suatu bilangan hanya digambarkan dengan noktahyang mengikuti pola garis lurus. Misalnya,a.mewakili bilangan 2.b.mewakili bilangan 3.c.mewakili bilangan 4.d.mewakili bilangan 5.Gambarkan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk noktah yang berpola garis lurus.a. 8b. 11c.15Jawab:a.b.c.rkan bilanrkan bilanContohSoal6.11.Tuliskan himpunan bilangan ganjil antara 1 dan 10.2.Tuliskan himpunan genap antara 10 dan 20.3.Tuliskan bilangan kelipatan tiga antara 50 dan 70.4.Tuliskan bilangan kelipatan 5 antara 80 dan 95.5.Hitunglah:a. 54c.10(1,5)3b. (1,5)3d.7215 25()+Semua bilangan asli dapatdigambarkan dengan noktah-noktah yangmengikuti pola garis lurus.Semua bSemuaPlus+Uji Kompetensi AwalGambar 6.1 : DaduSumber:Dokumentasi Penulis
Pola Bilangan, Barisan, dan Deret101Dari bilangan-bilangan berikut, manakah yang dapat mengikuti pola persegipanjang? Jelaskan dengan gambar.a. 15 b. 16 c. 17Jawab:a. Bilangan 15 merupakan hasil perkalian 3 dan 5. Jadi, mengikuti pola persegipanjang.b. Bilangan 16 merupakan hasil perkalian 2 dan 8. Jadi,mengikuti pola persegipanjang.c. Bilangan 17 merupakan hasil perkalian dari 1 dan 17. Jadi, mengikuti pola garis lurus.angan-bilangan biContohSoal6.22. Pola PersegipanjangPada umumnya, penulisan bilangan yang didasarkan pada pola persegipanjang hanya digunakan oleh bilangan bukan prima. Pada pola ini, noktah-noktah disusun menyerupai bentuk persegipanjang. Misalnya,a. mewakili bilangan 6, yaitu 2 x3 = 6.b. mewakili bilangan 8, yaitu 2 4 = 8.c. mewakili bilangan 6, yaitu 3 2 = 6.Untuk lebih jelasnya, coba perhatikan contoh soal berikut.3. Pola PersegiPersegi merupakan bangun datar yang semua sisinya memiliki ukuran yang sama panjang. Begitu pula dengan penulisan pola bilangan yang mengikuti pola persegi. Semua noktah digambarkan dengan jumlah yang sama. Perhatikan uraian berikut.a. mewakili bilangan 1, yaitu 1 1 = 1.b. mewakili bilangan 4, yaitu 2 × 2 = 4.xxx
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX102c.mewakili bilangan 9, yaitu 3 3 = 9.d.mewakili bilangan 16, yaitu 4 4 = 16.Jika dilanjutkan, bilangan-bilangan yang digambarkan mengikuti polapersegi adalah :1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...Bilangan-bilangan tersebut merupakan bilangan kuadrat (pangkat dua).Jika kamu perhatikan, bilangan kuadrat memiliki pola sebagai berikut.1+3+24+5+29+7+216+9+225+11+236+13+249+15+264+17+281+191001.Dengan menggunakan ciri-ciri penulisan bilangan yang memiliki pola persegi, tentukan bilangan manakah yang mengikuti pola persegi?a. 60b. 196c.2252.Seorang anak menyusun persegi dari batang lidi yang mengikuti pola sebagai berikut.Berapa banyak lidi yang dibutuhkan untuk membuat persegi pada pola ke-5?Jawab:1.a.Bilangan 60 bukan merupakan bilangan kuadrat. Jadi, bilangan 60 tidakdapat digambarkan mengikuti pola persegi.b. Bilangan 196 merupakan bilangan kuadrat dari 14. Jadi, bilangan 196 dapatdigambarkan mengikuti pola persegi.c.Bilangan 225 merupakan bilangan kuadrat dari 15. Jadi, bilangan 225 dapatdigambarkan mengikuti pola persegi.ContohSoal6.3Pola 1Pola 2Pola 3xx
Pola Bilangan, Barisan, dan Deret1032. Persegi yang dibentuk pada pola ke-5 dapat digambarkan sebagai berikut.4. Pola SegitigaSelain mengikuti pola persegipanjang dan persegi, bilangan pun dapat digambarkan melalui noktah yang mengikuti pola segitiga. Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan lima bilangan yang mengikuti pola segitiga berikut ini.a. mewakili bilangan 1.b. mewakili bilangan 3.c. mewakili bilangan 6.d. mewakili bilangan 10. Jadi, bilangan yang mengikuti pola segitiga dapat dituliskan sebagai berikut.1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...Coba kamu perhatikan bilangan yang memiliki pola segitiga. Ternyata, bilangan-bilangan tersebut dibentuk mengikuti pola sebagai berikut.Dari gambar di samping, banyak lidi yang dibutuhkan untuk membuat persegi pada pola ke-5 adalah 60 lidi.1+2+13+3+16+4+110+5+115+6+121+7+128+836www.free.vismwww.sgi.comSitus Matematika
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX104atau1=13=1+26=1+2+310 = 1 + 2 + 3 + 415 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5dan seterusnya.Apa yang dapat kamu simpulkan dari uraian tersebut?1. Tentukan lima bilangan segitiga setelah bilangan 36.2. Seorang anak membuat kerangka segitiga dari batang lidi dengan mengikutipola sebagai berikut.Berapa banyak lidi yang diperlukan untuk membuat pola ke-4?Jawab:1. Lima bilangan segitiga setelah bilangan 36 dapat ditentukan dengan pola:Jadi, bilangan segitiga tersebut adalah 45, 55, 66, 78 dan 912. Segitiga yang dibentuk pada pola keempat dapat digambarkan sebagai berikut.tk likliContohSoal6.4pola 1pola 236 + 9 = 45 +10 = 55 + 11 = 66 + 12= 78 + 13=91Dari gambar di samping, banyaknya batang lidi yang dibutuhkan untuk membuat kerangka segitiga yang sesuai dengan pola ke-4 adalah 30 batang lidi5. Pola Bilangan Ganjil dan GenapBilangan yang memiliki pola bilangan ganjil atau genap biasanya memilikiselisih dua angka antara bilangan yang satu dengan bilangan sebelumnya.Untuk lebih jelasnya, perhatikan uraian berikut.a.Pola Bilangan GanjilPola bilangan ganjil memiliki aturan sebagai berikut.(1) Bilangan 1 sebagai bilangan awal.(2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya.Perhatikan pola bilangan ganjil berikut ini.1+23+25+27+29+211+213+215
Pola Bilangan, Barisan, dan Deret1052+24+26+28+210+212+214+2161.Isilah titik-titik berikut sehingga membentuk pola bilangan genap.... ... ... ... 28 ... ... ... ... 38 ...2.Isilah titik-titik berikut sehingga membentuk pola bilangan ganjil.... 51 ... ... ... ... ... ... ... ... ... 69Jawab:1.Pola bilangan genap yang dimaksud adalah20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 402.Pola bilangan ganjil yang dimaksud adalah49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69ah titiktith titiktiContohSoal6.56. Pola Segitiga PascalBilangan-bilangan yang disusun menggunakan pola segitiga Pascal memilikipola yang unik. Hal ini disebabkan karena bilangan yang berpola segitigaPascal selalu diawali dan diakhiri oleh angka 1. Selain itu, di dalam susunannyaselalu ada angka yang diulang. Adapun aturan-aturan untuk membuat polasegitiga Pascal adalah sebagai berikut.Carilah contoh lain pola bilangan ganjil dan genap selain contoh yang sudah ada. Bandingkan hasilnya dengan teman sebangkumuTugas6.1a. Angka 1 merupakan angka awal yang terdapat di puncak.b. Simpan dua bilangan di bawahnya. Oleh karena angka awal dan akhirselalu angka 1, kedua bilangan tersebut adalah 1.c. Selanjutnya, jumlahkan bilangan yang berdampingan. Kemudian,simpan hasilnya di bagian tengah bawah kedua bilangan tersebut.d. Proses ini dilakukan terus sampai batas susunan bilangan yang diminta.b.Pola Bilangan GenapPola bilangan genap memiliki aturan sebagai berikut.(1) Bilangan 2 sebagai bilangan awal.(2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya.Perhatikan pola bilangan genap berikut ini.Agar kamu lebih memahami pola bilanganganjil dan genap, coba kamuperhatikan contoh soal berikut ini.dan seterusnya.11111114536103410151121Untuk lebih jelasnya, perhatikan pola segitiga Pascal berikut.Pola bilangan segitigaPascal ini dapat digunakandalam perhitunganmatematika lainnya.Salah satunya adalah variabel bilangan berpangkatPola bilaPola bilPlus+
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX106BanyaknyaPersegiBanyaknyaBatangLidiyangDigunakanBanyaknyaBatangLidipadaKelilingnya123............47...............46...............baris 1baris 2baris 37. Berikut ini adalah pola yang dibuat dari batanglidi.a. Salinlah pola tersebut dan tentukan tiga polaberikutnya.b. Berapa banyak batang lidi yang diperlukanuntuk membuat pola 1, 2, 3, dan 4?8. Berdasarkan pola yang telah dibuat pada soalnomor 7, isilah titik-titik pada tabel berikut.9. Tentukan nilai m dan n sehingga pola bilanganberikut mempunyai pola tertentu.Kerjakanlah soal-soal berikut.1.Perhatikan pola noktah berikut.a. Salinlah kembali pola noktah tersebut danlanjutnya tiga pola noktah berikutnya.b. Tulislah pola noktah tersebut dalam bentukangka.c.Jelaskan pola bilangan tersebut.2.Isilah tabel berikut.3.Buatlah pola noktah dari bilangan-bilangan berikut.Kemudian, tentukan jenis pola yang digunakan.a. 9d. 12b. 10e.13c.114.Istilah titik-titik berikut dengan memperhatikanpola yang digunakan.a.1, 2, 4, 8, 32, 256, ...b. 1, 5, 9, ..., 17, 21, 25c.5, 10, 15, 20, 25, ... , 35d. 1, 4, 10, 19, 31, ... , ...e.1, 4, 9, 16, ... , ..., 495.Berikut ini adalah pola yang dibuat dari batanglidi.a.alopagitnaktujnalnadtubesretalophalnilaSberikutnya.b. Berapa banyak batang lidi yang diperlukanuntuk membuat pola kesepuluh?6.Tentukan pola bilangan berikut dan isilah titik-titikyang telah disediakan.a.1, 8, 27, 64, ..., ..., ...b. 13, 23, ..., ..., ..., 63, 73c.1 + 2, 2 + 3, 3 + 4, ..., ..., 6 + 7d. ..., ..., 75, 100, 125, ..., 175e.1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, ..., ..., ..., ...,PolaBilanganBilanganPada DaduBilanganPada Kartu DominoGaris lurus..................PersegiPersegipanjang(a)(b)(c)(d)a.7, 10, m, 16, 19, 22, n, ...b. 1, 2, 5, 6, 9, 10, m, n,c.1, 6, 16, m, 51, n, ...d. 1, 6, m, 7, 3, n, 4e.m, 12, 19, 26, n, 40, ...10. Di sebuah bioskop, susunan tempat duduknyadigambarkan sebagai berikut.a. Berdasarkan pola tersebut, berapakah banyaknyakursi pada baris ke-6?b. Jika di bioskop tersebut hanya terdapat enambaris kursi, berapa jumlah kursi di bioskoptersebut?Uji Kompetensi 6.1
Pola Bilangan, Barisan, dan Deret107B. Barisan BilanganPerhatikan pola bilangan-bilangan berikut.a. 2, 4, 6, 8b. 1, 3, 5, 7, ...c. 3, 6, 9, 12, 15, ...Jika kamu perhatikan, bilangan-bilangan pada (a), (b), dan (c) disusun mengikuti pola tertentu. Bilangan-bilangan tersebut disebut barisan bilangan . Adapun setiap bilangan dalam barisan bilangan disebut suku barisan . Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un.Pada barisan bilangan 2, 4, 6, 8, diperolehU1 = suku ke-1 = 2U2 = suku ke-2 = 4U3 = suku ke-3 = 6U4 = suku ke-4 = 8Jadi, barisan bilangan 2, 4, 6, 8 memiliki 4 buah suku.Tanda “ ... “ pada akhir barisan bilangan menunjukkan bahwa barisan tersebut memiliki banyak sekali sukuTandaT“TandaT“Plus+1. Diketahui barisan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.a. Tentukan banyaknya suku barisan dalam barisan bilangan tersebut.b. Sebutkan satu per satu suku yang dimaksud.2. Diketahui barisan bilangan 5, 10, 20, 40, 80. Tentukan U2, U4, dan U5.Jawab:1. a. Terdapat 8 suku barisan dalam barisan bilangan tersebut. b. U1 = 1 U5 = 9U2 = 3 U6 = 11U3 = 5 U7 = 13U4 = 7 U8 = 152. U2 = suku kedua = 10U4 = suku keempat = 40U5 = suku kelima = 80ketahuibaketahuibaContohSoal6.6Berdasarkan polanya, barisan bilangan dibagi menjadi dua bagian, yaitu barisan arimetika (barisan hitung) dan barisan geometri (barisan ukur). Agar kamu lebih memahaminya, perhatikan uraian berikut ini.1. Barisan Aritmetika (Barisan Hitung)Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Perhatikan uraian berikut.• Diketahui barisan bilangan:Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih 3 antara dua suku barisan yang berurutan. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika.1+34+37+310+313+316+319+322
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX108Tentukan jenis barisan aritmetika berikut berdasarkan nilai bedanya.a. 30, 32, 34, 36, 38, ...b. 18, 15, 12, 9, 6, 3, ...c. −10, −14, –18, −22, −26, ...Jawaba. merupakan barisan aritmetika naik karena bedanya 2.b. merupakan barisan aritmetika turun karena bedanya −3.c . merupakan barisan aritmetika turun karena bedanya −4.18−315−312−39−3−363−10−14−18−22−26−4−4−4−4Kamu telah memahami barisan aritmetika naik dan turun. Sekarang, bagaimana mencari salah satu suku barisan jika yang diketahui hanya suku pertama dan bedanya saja? Bagaimana mencari beda jika yang diketahui hanya suku pertama dan satu suku barisan yang lain? Untuk menjawabnya, pelajarilah uraian berikut.Diketahui barisan bilangan aritmetika sebagai berikut.U1, U2, U3, U4, U5, U6, ..., Un – 1 , UnDari barisan tersebut diperolehU1 = a (suku pertama dilambangkan dengan a)U2 = U1 + b = a + bU3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2bU4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b30+232+234+236+2388–44–40–4−4–4−8–4−12–4−16–4−20an jenisbaan jenisbContohSoal6.7• Diketahui barisan bilangan:Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan, yaitu –4. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika.Dari kedua uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa barisan aritmetika memiliki beda (sering dilambangkan dengan b) yang tetap. Jika b bernilai positif maka barisan aritmetika itu dikatakan barisanaritmetika naik. Sebaliknya, Jika b bernilai negatif maka barisan aritmetika itu disebut barisan arimetika turun.Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.Fibonacci, yang nama lengkapnya adalah Leonardo of Pisa, adalah putra seorang saudagar Italia. Dalam perjalanannya ke Eropa dan Afrika Utara, ia mengembangkan kegemarannya akan bilangan. Dalam karya terbesarnya, Liber Abaci, ia menjelaskan sebuah teka-teki yang sekarang kita kenal dengan barisan Fibonacci. Barisan tersebut adalah 1, 1, 2, 3, 5, 8, .... Setiap bilangan atau angka dalam barisan ini merupakan jumlah dari dua bilangan sebelumnya. (1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, ...).Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia, 2002Fibonacci (1180 –1250)Sumber: www.lahabra.seniorhigh.netSekilasMatematika
Pola Bilangan, Barisan, dan Deret109U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4bU6 = U5 + b = (a + 4b) + b = a + 5b ...Un = Un − 1 + b = (a + (n − 2) b ) + b = a + (n − 1) bJadi, rumus ke-n barisan aritmetika dapat ditulis sebagai berikut.Un = a + (n − 1) bUntuk mencari beda dalam suatu barisan aritmetika, coba kamu perhatikan uraian berikut.U2 = U1 + b maka b = U2 − U1U3 = U2 + b maka b = U3 − U2U4 = U3 + b maka b = U4 − U3U5 = U4 + b maka b = U5 − U4...Un = Un − 1 + b maka b = Un − Un − 1Jadi, beda suatu barisan aritmetika dinyatakan sebagai berikut.b = Un − Un − 1Agar kamu lebih memahami materi ini, perhatikan contoh-contoh soal berikut.Diketahui barisan aritmetika sebagai berikut.10, 13, 16, 19, 22, 25, .... Tentukan:a. jenis barisan aritmetikanya,b. suku kedua belas barisan tersebut.Jawab:a. Untuk menentukan jenis barisan aritmetika, tentukan nilai beda pada barisan tersebut. b = U2 − U1 = 13 − 10 = 3Oleh karena b > 0, barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik.b. Untuk mencari suku kedua belas (U12), dilakukan cara sebagai berikut.Un = a + (n − 1)b maka U12 = 10 + (12 − 1) 3 = 10 + 11 · 3 = 10 + 33 = 43 Jadi, suku kedua belas barisan tersebut adalah 43.ui barisanui barisaContohSoal6.8Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24.a. Tentukan beda pada barisan tersebut.b. Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut.barisan abarisan aContohSoal6.9Isilah dengan barisan bilangan yang tepat.1 1 12 11 2 1 11 1 1 2 2 13 1 2 2 1 11 3 1 1 2 2 2 1 Problematika127, 119, 111, 103, 95, ...Rumus suku ke-n dari barisan bilangan di atas adalah ....a. 8n + 119 c. 135 – 8nb. 119 – 8nd. 8n + 135Jawab:Diketahui: U1 = a = 127U2 = 119b = –8Rumus umum suku ke-nadalah Un = a + (n – 1) b= 127 + (n – 1) (–8)= 127 – 8n + 8= 135 – 8nJawaban: c Soal UAN, 2002SolusiMatematika
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX110Setiap bulan, Ucok selalu menabung di bank. Pada bulan pertama, ia menabung sebesar Rp10.000,00, bulan kedua ia menabung sebesar Rp11.000,00, bulan ketiga ia menabung sebesar Rp12.000, 00. Demikian seterusnya, ia selalu menabung lebih Rp1.000,00 setiap bulannya.a. Nyatakanlah uang yang ditabung Ucok (dalam ribuan rupiah) untuk 8 bulan pertama.b. Tentukan jumlah uang yang ditabung Ucok pada bulan ke-12.Jawab :a. Dalam ribuan rupiah, uang yang ditabung Ucok untuk 8 bulan pertama adalah sebagai berikut.